測度0なブログ

数学、映画・本の感想・解釈　あくまで個人の見解です。

関数列の収束

数学

区間I=[a,b]で定義された関数列 $\{f_n\}$ が与えられ各 $x\in{I}$ において

　　　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$

が成り立っているとする。この時、 $f_n(x)$ がI上で連続ならばfはIで連続となるだろうか？残念ながらこれはいつでも成り立つことではない。次の反例を考えよう。

I=[0,1]に対して $f_n(x)=x^n,n\in\textbf{N}$ とする。この時

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x):=\left\{\begin{array}{1} 0 \hspace{5pt}if\hspace{5pt}0\leq{x}\lt1 \\ 1\hspace{5pt}if\hspace{5pt}x=1 \end{array} \right.$

となるが $f_n(x)$ はI上連続であるがf(x)は不連続である。

このように $f_n(x)$ の性質をそのままfが持つためには通常の収束よりも強い意味での概念が必要となる。その答えを与えるのが次の一様収束の概念である。

一様収束

区間I上の関数列 $\{f_n\}$ が

　　　　　　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in{I}}|f_n(x)-f(x)|=0$

を満たす時、 $f_n$ はfにI上一様収束するという。

先ほど例に挙げた $f_n(x)$ の収束は一様収束ではない。なぜなら

$\displaystyle\sup_{x\in{I}}|f(x)-f_n(x)|=1$

となることがx=1の近傍での様子から容易に分かる。よってこれは一様収束ではない。

この一様収束の概念はnとxというパラメターターが二つあって最初は非常に分かりにくい。実例に触れていって少しずつ慣れていこう。

例１

$f_n(x)=xe^{-nx^2},I=\textbf{R}$

とする。最初にこの関数列の各点収束先を見つけよう。 $x=a\in\textbf{R}$ を固定する。この時

$f_n(a)=ae^{-na^2}\rightarrow 0\hspace{5pt} as\hspace{3pt}n\rightarrow\infty$

が成り立つので $f_n$ はf=0に各点収束する。さて、これが一様収束であるか判定しよう。 $f_n(x)=xe^{-nx^2}$ は $x=\frac{1}{\sqrt{n}}$ で最大値をとることに注意すると

$\displaystyle\sup_{x\in{I}}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in{I}}|f_n(x)|=f_n(\frac{1}{\sqrt{n}})=\frac{1}{\sqrt{n}e}$

したがって

　　　　　 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in{I}}|f_n(x)-f(x)|=0$

が成立する。したがって一様収束である。

例２

関数列 $f_n(x)=e^{-nx^2},I=\textbf{R}$ を考える。 $x=a\ne 0$ とすると

$f_n(a)=e^{-na^2}\rightarrow 0\hspace{5pt} as\hspace{3pt}n\rightarrow\infty$

よって $f_n(x)$ は

$f_n(x)\rightarrow f(x):=\left\{\begin{array}{1} 0 \hspace{5pt}if\hspace{5pt}x\ne 0 \\ 1\hspace{5pt}if\hspace{5pt}x=0 \end{array} \right.$

に各点収束する。この収束が一様収束であるかを判定しよう。

$\displaystyle\sup_{x\in{I}}|f_n(x)-f(x)|=1$

であるので（x=0の近傍を考えれば良い）これは一様収束ではない。

さて、いかがだろうか？少しは感覚が掴めるようになっていたら幸いである。一様収束は解析において基本かつ重要な概念なので是非ともマスターして使いこなせるようになってほしい。