数学メモ - 測度0なブログ

$f,g$ をそれぞれ $\textbf{R}$ 上のリプシッツ連続な関数とする。すなわち

$^\exists L\gt 0 \hspace{3pt} s.t.|f(x)-f(y)|\lt L|x-y|\hspace{5pt} ^\forall x,y\in\textbf{R}$

この時、 $F=max\{f,g\}$ もまたリプシッツ連続となる。少し回りくどいかもしれないが証明してみる。

最初に $f$ をリプシッツ連続として

$f^+:=max\{f,0\}$

がリプシッツ連続となることを示す。 $f^+(x)=f(x)$ とする。 $f^+(y)=f(y)$ の時は明らか。

$f^+(y)=0$ とする。この時、 $f(x)\gt 0,f(y)\lt 0$ であるので

$|f^+(x)-f^+(y)|\le|f(x)-f(y)|\lt L|x-y|$

したがって $f^+$ はリプシッツ連続となる。一般の場合については

$F-g=max\{f-g,0\}$

を考え、 $f-g$ はリプシッツ連続であるので上段の議論より $F-g$ はリプシッツ連続となり最終的にFがリプシッツ連続となることが分かる。

もっとスッキリ証明できそうだがどうだろうか？